** Des bouteilles en plastique recyclé

Problème adapté de la banque nationale de sujets : https://www.education.gouv.fr/reussir-au-lycee/bns

Une usine fabrique des bouteilles en plastique. Sur \(800\) bouteilles produites, \(320\) sont réalisées à partir de plastique recyclé, les autres à partir de plastique neuf.

1. On prélève au hasard une bouteille dans la production. On note \(\text{R}\) l'événement « la bouteille prélevée est faite à partir de plastique recyclé ». Justifier que la probabilité de l’événement \(\text{R}\) vaut \(0{,}4\).

2. On prélève maintenant successivement au hasard \(3\) bouteilles dans la production et on note pour chacune d'entre elles si le plastique utilisé est recyclé ou neuf.
La production est assez importante pour que chaque prélèvement d’une bouteille soit assimilé à un tirage aléatoire avec remise.
On appelle \(X\) la variable aléatoire associant à chaque prélèvement de \(3\) bouteilles le nombre de bouteilles fabriquées à partir de plastique recyclé qu’il contient.
    a. Représenter l’arbre de probabilités modélisant la situation.
    b. Calculer \(P(X=2)\) et interpréter le résultat.
    c. Donner la loi de probabilité de \(X\) en recopiant et complétant le tableau ci-dessous.
\(\begin{align*} \begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Valeurs} \;x_i \\ \text{prises par}\;X&\;\;\;\;\;\;\;&\;\;\;\;\;\;\;&\;\;\;\;\;\;\;&\;\;\;\;\;\;\; \\ \hline P(X=x_i) &\\ \hline \end{array}\end{align*}\)

    d. Déterminer le nombre moyen de bouteilles en plastique recyclé que l’on peut espérer obtenir si l’on renouvelle un grand nombre de fois ce prélèvement de \(3\) bouteilles.